Peluang : Pencacahan

Matematika SMK Klas XI
Peluang : Pencacahan

Tanpa kita sadari kehidupan kita sehari-hari selalu berhubungan dengan matematika, khususnya peluang. Misalnya dalam pemilihan umum terdapat 5 orang calon presiden, yaitu A, B, C, D dan E. Berapa peluang A untuk menang? Kita dapat menentukan peluang A untuk menang dengan menggunakan teori probabilitas (peluang).

Teori peluang pertama kali diuraikan oleh ahli matematika Prancis, yaitu Blaise Pascal dan Pierre de Fermat, dan kemudian dikembangkan oleh ahli matematika Italia, Gerolarmo Cordano. Teori peluang dikembangkan pada abad ke-17 ketika para ahli matematika mencoba mengetahui kemungkinan gagal atau berhasil dalam permainan kartu dan dadu. Selain digunakan dalam analisis matematika, teori probabilitas (peluang) juga banyak digunakan dalam berbagai bidang, seperti genetika, mekanika kuantum dan asuransi.

Kaidah Pencacahan adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu kejadian. Ada beberapa teknik pencacahan yaitu teknik membilang, notasi faktorial, permutasi dan kombinasi.

Contoh masalah penyusunan suatu obyek dari beberapa unsur :

1. Penyusunan jadwal pertandingan antara dua kesebelasan dari beberapa kesebelasan dalam turnamen sepak bola.
2. Penyusunan nomor kendaraan bermotor sebagai identitas kepemilikan kendaraan.
3. Penyusunan nomor telepon atau alamat internet protocol yang berguna untuk mengetahui kecukupan pemenuhan permintaan pelanggan di suatu wilayah dan lain lain.

Jika terdapat dua unsur yang akan dibentuk menjadi suatu susunan dengan m dan n cara yang berlanan dapat disusun menjadi m x n cara.
Contoh Soal:

a.       Seseorang akan melakukan perjalanan dari kota A ke C. Jika dari kota A ke kota B dapat dipilih 3 jalan yang berbeda dan dari kota B ke Kota C dapat dipilih 4 jalan yang berbeda maka berapa jalan yang dapat dipilih jika kejadian dari kota A ke kota C melalui kota B?

Jawab:

Misal jalur di kota A : p, q, r dan jalur di kota B : s, t , u, v

Untuk melakukan perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota B dapat melalui ps, pt, pu, pv, qs, qt, qu, qv, rs, rt, ru, rv, yaitu ada 12 cara atau 3 x 4 = 12 cara.

b.      Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 3, 5, 7, 9 dengan syarat masing-masing angka hanya boleh dipakai satu kali untuk setiap bilangan dan bilangan itu terdiri atas tiga angka.

Jawab:

R	P	S
5	4	3

(R : Ratusan; P: Puluhan; S: Satuan)

Kotak ratusan dapat diisi dengan 5 cara (1,3,5,7,9). Kotak puluhan dapat diisi dengan 4 cara (satu angka sudah mengisi kotak ratusan), kotak satuan dapat diisi dengan 3 cara (satu angka sudah mengisi kotak ratusan dan satu angka lagi sudah mengisi kotak puluhan). Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibuat adalah 5 x 4 x 3 = 60 bilangan.

Pencacahan: Peluang

Tambahkan komentar kamu!

Tantangan Pembelajaran di Era Revolusi Industri 4.0

Perubahan dunia teknologi saat ini sangat pesat dan merubah gaya hidup manusia, tak  terkecuali di bidang pendidikan. Perubahan pendidikan yang dilakukan tidak hanya sekedar cara mengajar, tetapi sampai hal yang mendasar, yakni perubahan cara pandang terhadap konsep pendidikan itu sendiri. Pendidikan sekarang ini harus mempersiapkan siswa untuk pekerjaan dengan teknologi yang belum ada dan menyelesaikan masalah yang mungkin belum diketahui saat ini tapi yang akan mereka hadapi akan datang.

Pendidikan memiliki peran penting dalam mempersiapkan siswa agar mampu berpikir kritis, kreaktif serta inovatif ketika menghadapi masalah dalam kehidupan sehari-hari. Untuk itu dibutuhkan dukungan dari berbagai pihak untuk bisa mempersiapkan siswa menghadapi era revolusi industri 4.0 sebagai tanda memasuki Abad 21. Era revolusi industri 4.0 akan terjadi perubahan besar di segala bidang, maka siswa harus memiliki ketrampilan atau kecakapan untuk mengisi abad 21 yang sesuai era revolusi industri 4.0. Maka diperlukan perubahan dalam pembelajaran untuk mencapai ketrampilan yaitu : kualitas karakter, literasi dan kompetensi. Kualitas karakter peserta didik untuk mampu menghadapi perubahan yang akan terjadi. Kualitas karakter ini sudah tertuang dalam pembelajaran kurikulum 2013. Karakter pembelajaran kurikulum 2013 mengarahkan peserta didik untuk memahami potensi, minat dan bakatnya untuk bisa mengembangkan karir di lingkup pendidikan maupun di masyarakat. Kurikulum 2013 mempersiapak kualitas karakter yang menjadi tuntutan abad 21 yaitu, iman dan taqwa, cinta tanah air, rasa ingin tahu, inisiatif, gigih, kemampuan beradaptasi, kepemimpinan, kesadaran sosial dan budaya, serta bertanggungjawab dalam setiap langkah dan tindakan yang dilakukan. Kemampuan literasi peserta didik dalam menerapkan keterampilan inti untuk kegiatan sehari-hari. Literasi peserta didik bersama guru memperdalam wawasan serta penguasaan materi, sehingga peserta didik mandiri tidak bergantung dengan guru. Literasi dikembangkan di antaranya, yaitu literasi baca tulis, berhitung, literasi sains, literasi teknologi informasi dan komunikasi, literasi keuangan, literasi budaya dan kewarganegaraan. Kompetensi kecakapan abad 21, yaitu kompetensi peserta didik untuk menghadapi tantangan yang kompleks di antaranya: cara berpikir, berkreasi, berinovasi, kritis, memecahkan masalah, membuat keputusan, dan belajar pro-aktif. Cara bekerja yaitu dalam berkomunikasi, berkolaborasi, bekerja dalam tim. Cara hidup sebagai bagian dari masyarakat. Ketrampilan abad 21 akan berkembang jika didukung dengan teknologi informasi, jaringan digital, dan literasi. Kualitas karakter, kompetensi dan literasi ini bisa terlaksana dengan menerapkan kurikulum 2013, kurikulum muatan lokal, atau kurikulum inklusif yang diterapkan di sekolah melalui proses pembelajaran Abad 21. Didukung dengan sumber belajar berupa buku yang berbentuk teks dan digital, serta proses penilaian melalui penilaian kelas, penilaian sekolah, dan ujian akhir nasional.

Pendidik harus menyesuaikan dengan tuntutan kecakapan abad 21, menguasai dan mengelaborasi dalam proses pembelajaran yang dikembangkan. Dalam proses pembelajaran guru tidak lagi menjadi satu satunya sumber belajar tetapi harus mampu menjadi : fasilitator, kolaborator, mentor, pelatih, dan teman belajar bagi peserta didik.Guru memberikan pilihan dan tanggung jawab yang besar kepada peserta didik untuk mengalami peristiwa belajar.

Tambahkan komentar kamu!

Membentuk Karakter dengan belajar Matematika.

Undang-undang Nomor 20 Tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional Pasal 3 menegaskan bahwa pendidikan nasional berfungsi mengembangkan kemampuan dan membentuk watak serta peradaban bangsa yang bermartabat dalam rangka mencerdaskan kehidupan bangsa, bertujuan untuk mengembangkan potensi peserta didik agar menjadi manusia yang beriman dan bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, berakhlak mulia, sehatd, berilmu, cakap, kreatif, mandiri, dan menjadi warga negara yang demokratis serta bertanggung jawab.

Pendidikan karakter sebagai implementasi dari Undang-undang Nomor 20 Tahun 2003 tentang Pendidikan Nasional dapat diintegrasikan dalam pembelajaran pada setiap mata pelajaran. Setiap mata pelajaran bisa mengembangkan pendidikan karakter tidak terkecuali Mata Pelajaran Matematika. Dalam kompetensi sikap sosial mata pelajaran matematika karakter yang dikembangkan diantaranya: jujur, disiplin, santun, peduli ( gotong royong, kerja sama, toleransi, damai),  bertanggung jawab responsif dan proaktif. Karakter jujur, dalam matematika berlaku secara global yang berdasarkan pengamatan yang mungkin dilakukan secara bertahap dan harus bisa dibuktikan. Pembuktian ini membentuk karakter jujur karena orang lain bisa membuktikan dari antara perkataan dan tindakan. Karakter disiplin, dalam mempelajari matematika ada aturan atau konsep yang harus dilalui yang telah disepkati. Aturan-aturan ini bila dilanggar menimbulkan kesalahan hasil pengerjaan.   Sebagai contoh: aturan dalam urutan pengoperasian antara perkalian dan penjumlahan dan lain sebagainya. Karakter santun, matematika merupakan bahasa komunikasi. Penyampaian matematika harus bisa dipahami orang lain. Penyampaian secara lisan maupun tertulis dalam matematika ada aturan atau simbol simbol yang sudah pasti. Karakter kerja keras, dalam mempelajari matematika dibutuhkan ketelitian, tekun dan pantang menyerah. Sering terjadi dalam mengerjakan soal matematika tidak langsung mendapatkan hasil benar. Pengerjaan yang urut, teliti dan tidah mudah menyerah terus berupaya sampai menghasilkan hasil pengerjaan yang benar. Karakter kreatif, seseorang yang senang belajar matematika akan menjadi orang yang kreatif. Dalam penyelesaian soal matematika ada yang didapat dengan cara pendek tapi tidak sedikit yang harus memakai cara panjang. Didalam matematika banyak rumus rumus yang harus kreatif dalam penggunaannya sebagai contoh: ada tiga rumus luas segitiga yang harus dikuasai siswa setingkat SLTA dengan penggunaan yang berbeda. Karakter tanggung jawab, kebiasaan karakter disiplin membentuk siswa yang mempelajari matematika menjadi orang yang bertangungjawab atas kewajibannya yang seharusnya dilakukan. Sebagai contoh: tanggung jawab atas kewajiban mengerjakan pekerjaan rumah, mengerjakan tugas tak struktrur maupun terstruktur, dan tanggung jawab mengerjakan soal saat ujian. Karakter mandiri, saat mempelajari matematika sering menghadapi tantangan permasalahan yang harus dicari penyelesaiannya. Untuk itu seorang siswa harus memiliki sikap mandiri dalam mencari penyelesaian. Sesuai dengan karakter jujur yang mendukung karakter mandiri tidak bergantung pada orang lain dalam menyelesaikan soal matematika. Apalagi pada saat mengerjakan soal ujian  harus benar-benar mandiri. Karakter rasa ingin tahu, semakin banyak mempelajari matematika akan membuat semakin memiliki rasa ingin tahu yang besar. Ilmu matematika memiliki keterkaitan dengan bidang ilmu lainnya. Banyak permasalahan kehidupan sehari hari yang bisa dipecahkan dengan matematika.  Karakter rasa ingin tahu mendorong untuk mempelajari lebih banyak lagi, sehingga menambah wawasan ilmu pengetahuan yang lebih luas. Mampu menghubungkan keterkaitan, persamaan maupun perbedaan saat menemukan suatu masalah sehingga bisa mendapatkan penyelesaian yang baik.

Penanaman karakter melalui mata pelajaran matematika dengan pembelajaran di kelas yang dilakukan secara konsisten dengan membiasakan berperilaku berkarakter.

Tambahkan komentar kamu!

Drill Cara Persiapan Ujian dalam Waktu yang Mepet

Para siswa dan juga guru sering menghadapi kebingunan ketika menghadapi ujian yang tidak terasa waktu tinggal sedikit. Berbagai model belajar di tempuh untuk mendapatkan nilai yang maksimal. Tidak sedikit para siswa semakin mendekati waktu ujian bukannya semakin siap tapi justru semakin tidak siap dan binggung apa yang mesti dipelajari. Metode belajar untuk waktu yang mepet salah satunya dengan metode drill.

Belajar dengan cara drill adalah cara mengajar guru terhadap siswa dengan banyak latihan latihan yang sesuai dengan materi yang sudah diperoleh oleh siswa. Drill akan banyak pengulangan materi untuk memperkuat penguasaan dan kemampuan menyelesaikan materi oleh siswa. Materi  untuk menghadapi ujian adalah  Standar Kompetensi Lulusan  (SKL). Standar Kompetensi Lulusan biasanya sudah diketahui jauh hari sebelum waktu ujian. Standar Kompetensi Lulusan menjadi dasar dalam pembuatan Kisi-kisi. Materi soal  latihan yang diberikan kesiswa adalah soal soal yang sudah disesuaikan dengan kisi – kisi atau Standar Kompetensi Lulusan. Dalam pembelajaran drill tidak membahasa materi yang baru. Kalau ada pembahasan materi maka materi yang dipelajari materi dasar yang sebelumnya sudah mereka pelajari. Materi yang mendukung dalam pengerjaan soal. Ketika mengerjakan soal dan tidak bisa mengerjakan, saat itulah kembali membuka materi lama yanh sesuai dengan soal yang baru dikerjakan. Metode ini anak dibiasakan dengan latihan latihan yang mengasah ketrampilan siswa dalam mengerjakan soal latihan. Soal yang sesuai dengan Standar Kompetensi Lulusan memiliki kreteria tingkat kesuliran yang berbeda beda. Ada soal yang mudah dipahami tapi juga ada soal yang perlu analisis. Ada soal yang butuh waktu yang pendek dalam memahami tapi juga ada soal yang butuh waktu yang lama. Drill dapat meningkatkan kemampuan motorik pada latihan latiha seperti musik, olah raga, menari dan lainnya yang membutukan latihan gerak. Drill dapat meningkatkan kemampuan mental, misalnya kemampuan menghafal dalam pengkerjaan hitung: perkalian, penjumlahan, pengurangan, pembagian dan lainnya. Yang perlu diperhatikan dalam pembelajaran drill: tujuan dalam drill harus jelas diterima siswa sehingga selesai latihan mereka diharapkan dapat mengerjakan dengan tepat sesuai dengan apa yang diharapkan. Menentukan kebiasaan yang terus dilatih sehingga siswa mengetahui apa yang harus dikerjakan. Menentukan lama latihan yang harus sesuai dengan kemmapuan siswa. Selingan selingan selama latihan agar tidak membosankan. Dalam setiap latihan selalu memperhatikan kesalahan-kesalahan yang dilakukan oleh siswa untuk perbaikan secara klasikan amaupun kesalahan perorangan yang perlu bimbinagan secara perorangan. Karena kemampuan siswa berbeda beda, ada yang cepat memahami tapi ada juga yang sulit memahami materi yang dipelajari.

Berdasarkan uraian di atas, metode drill bagus untuk meningkatkan kemampuan siswa dalam maenghadapi ujian pada waktu yang mepet. Dengan metode drill diharapkan terjadi penguatan siswa dalam menguasai materi hingga siap menghadapi ujian.

Tambahkan komentar kamu!

Notasi Faktorial

Notasi Faktorial

Misalkan n bilangan asli.

n! dinamakan n Faktorial yang didefinisikan sebgai berikut:

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 3 x 2 x 1.
Jadi, n! merupakan perkalian dari n bilangan asli yang berurutan.

Contoh:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

1

Untuk lebih jelasnya silahkah lihat video berikut:

Angka dan Bilangan

Angka
Angka disebut juga digit. Angka tidak sama dengan bilangan. Tetapi lambang bilangan terdiri dari angka - angka.
"18" adalah lambang bilangan delapan belas terdiri dari dua angka.
"180" adalah lambang bilangan seratus delapan puluh terdiri dari tiga angka.
Arti suatu angka dalam suatu lambang bilangan ditentukan oleh nilai tempatnya dalam lambang bilangan itu.
Misalkan: 336
Angka 3 yang pertama mengandung arti 300
Angka 3 yang kedua mengandung arti 30
Jadi, 336 dapat ditulis dalam bentuk panjang sebagai berikut: 300+30+6.

Bilangan 
Bilangan adalah suatu idea. Sigatnya abstrak. Bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan mengenai banyaknya anggota himpunan.

Bilangan ASLI
Bilangan Asli adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ...
Bilangan 0 bukan bilangna Asli
Macam Bilangan Asli

• Bilangan Genap: 2, 4, 6, 8, ...
• Bilangan Ganjil: 1, 3, 5, 7, ...
• Bilagan Prima: 2, 3, 5, 7, 11, ...
• Bilangan Komposit, : 4,  6, 8, 9, 10, ....

Bilangan Bulat
Bilangan Bulat diantaranya:

• Bilangan asli atau bilangan bulat positif
• bilangan Nol 
• lawan bilangan asli atau bilangan bulat negatif

Tambahkan komentar kamu!

Simbol Keselamatan Kerja

 Simbol mudah terbakar.
Simbol ini biasa ditempel di barang , kendaraan atau tempat yang mudah terbakar.

Simbol beracun
Simbol ini biasa tertempel di barang yang beracun atau tempat/gudang yang berisi barang barang beracun.

Simbol percikan cairan kimia.
Simbol ini biasanya tertempel atau terpasang di cairan kimia yang sangat berbahaya jiak terkena anggota badan seperti tangan




Tambahkan komentar kamu!

Kesalahan siswa yang sering terjadi mengerjakan Matematika

Kesalahan siswa yang sering terjadi mengerjakan Matematika

Bagi kebanyakan siswa mata pelajaran matematika dikenal sangat sulit. Maka tidak heran banyak siswa mendapatkan nilai matematika tidak memuaskan. Banyak kendala kendala dalam mempelajari matematika. Banyak siswa  yang disengaja maupun tidak sengaja bahkan tidak sadar melakukan kesalahan dalam mengerjakan soal-soal matematika. Parahnya lagi siswa sudah merasa mengerjakan dengan benar. Kesalahan-kesalahan ini yang menjadikan mata pelajaran matematika dipandang sulit bagi sebagian siswa.   

Kesalahan kesalahan yang sering dilakukan dalam mengerjakan soal matematika antara lain:

a. Kesalahan operasional. Kesalahan operasional berhubungan dengan pengerjaan hitung, tidak bisa mengoperasikan yang tepat atau rangkaian operasi yang salah. Urutan-uratan dalam pengoperasikan pangkat, perkalian, pembagian, penjumlahan maupun pengurangan. Kesalahan ini terjadi ketika pengerjaan yang tidak tepat yang mengarah pada ketidaktahuan dalam memilih urutan operasional untuk menyelesaikan operasi-operasi yang ada. Dalam menyelesaikan masalah matematika miskipun mampu menghitung, tetapi jika melakukan kesalahan dalam urutan operasional, maka tetap akan memberikan suatu jawaban yang tidak tepat atau salah. Jadi dalam menyelesaikan masalah matematika sangat diperlukan kemampuan dalam operasional. Contoh kesalahan operasi yang sering terjadi: operasi antara perkalian dan pangkat yang perdampingan. 

b. Kesalahan dalam memahami kalimat atau kesalahan dalam interpretasi bahasa. Kesalahan memahami kalimat dari suatu masalah ke dalam ungkapan matematika. Bahasa matematika merupakan bahasa dalam bentuk simbol-simbol sehingga pemahaman terhadap simbol -simbol matematika merupakan suatu syarat utama dalam memahami matematika. Tidak sedikit soal matematika disajikan dalm bentuk kalimat atau soal cerita kehidupan sehari-hari. Untuk menyelesaikan soal matematika dalam bentuk soal cerita kehidupan sehari-hari maka terlebih dahulu harus mengubah ke dalam bentuk simbol–simbol matematika. Jika pada saat mengubah ke dalam kalimat matematika kurang tepat maka tidak mungkin menemukan solusi yang tepat. 

c.  Kesalahan dalam membaca data atau memakai data. Permasalah matematika biasanya disajikan dalam bentuk diagram, tabel, soal cerita atau sebagainya. Pada permasalahan yang disajikan dalam bentuk data perlu ketelitian untuk membaca data, baik dalam hal membaca angka angka atau banyaknya data. Sering karena data yang disajikan banyak sehingga terjadai kesalahan dalam membaca data. Contoh pada masalah statistik yang sering menggunakan data yang banyak, baik salah menghitung jumlah data atau  dobel dalam membaca data. 

d. Kesalahan dalama memahami gambar. Kesalahan penyelesaian matematika yang membutuhkan gambar seperti bangun ruang, kurangnya  imajinasi untuk bisa memahami gambar. Apalagi bila permasalahan matematika dalam bentuk soal cerita/ kata-kata tanpa gambar yang seharusnya soal itu bisa digambar.  Kebanyakan siswa sulit memahami bangun ruang maka yang terjadi salah dalam mengerjakan soal.

Untuk mengurangi kesalahan-kesalahan dalam menyelesaikan soal matematika dibutuhkan: 

a. Pemahaman konsep dari  materi yang dipelajari, pemahaman setiap langkah penyelesaian. 

b. Banyak latihan, kunci agar bisa memahami soal matematika adalah dengan banyak latihan. Dengan banyak latihan akan semakin paham simbol simbol matematika. Belajar dari kesalahan sebelumnya untuk tidak mengulangi kesalahan yang sama dengan cara banyak latihan. 

c. Menyelesaikan permasalahan matematika tidak sekedar bisa menghitung tapi sangat dibutuhkan ketelitian. Ketelitian dalam membaca data atau soal dan ketelitian dalam menulis penyelesaian. 

d. Soal yang membutuhkan imajinasi sedapat mungkin digambar/sket. Dengan gambar siswa akan lebih bisa memahami pokok permasalahan.

Dengan mengetahui kesalahan-kesalahan yang sering terjadi dalam mengerjakan soal matematika diharapkan para siswa lebih hati-hati dan banyak berlatih soal matematika. Pada akhirnya mendapatkan nilai yang lebih baik.

Artikel dari resume beberapa sumber, artikel ini pernah dimuat di salah satu koran di JATENG.

Tambahkan komentar kamu!